Informatica, Grafuri 11C

Arborele partial de cost minim poate fi construit muchie cu muchie, dupa urmatoarea metoda a lui Kruskal (1956): se alege intai muchia de cost minim, iar apoi se adauga repetat muchia de cost minim nealeasa anterior si care nu formeaza cu precedentele un ciclu. Alegem astfel X–1 muchii. Este usor de dedus ca obtinem in final un arbore. Este insa acesta chiar arborele partial de cost minim cautat?
Inainte de a raspunde la intrebare, sa consideram, de exemplu, graful din Figura 6.1.a. Ordonam crescator (in functie de cost) muchiile grafului: {1, 2}, {2, 3}, {4, 5}, {6, 7}, {1, 4}, {2, 5}, {4, 7}, {3, 5}, {2, 4}, {3, 6}, {5, 7}, {5, 6} si apoi aplicam algoritmul. Structura componentelor conexe este ilustrata, pentru fiecare pas, in Tabelul 1.

Figura 1 Un graf si arborele sau partial de cost minim.






Tabelul 1 Algoritmul lui Kruskal aplicat grafului din Figura1a.

Multimea A este initial vida si se completeaza pe parcurs cu muchii acceptate (care nu formeaza un ciclu cu muchiile deja existente in A). In final, multimea A va contine muchiile {1, 2}, {2, 3}, {4, 5}, {6, 7}, {1, 4}, {4, 7}. La fiecare pas, graful partial formeaza o padure de componente conexe, obtinuta din padurea precedenta unind doua componente. Fiecare componenta conexa este la randul ei un arbore partial de cost minim pentru varfurile pe care le conecteaza. Initial, fiecare varf formeaza o componenta conexa. La sfarsit, vom avea o singura componenta conexa, care este arborele partial de cost minim cautat (Figura 1b).Ceea ce am observat in acest caz particular este valabil si pentru cazul general.
In vectorul V vom sorta in ordine crescatoare numarul muchiilor in ordine crescatoare in functie de costul fiecareia.In vectorul X vom retine pentru fiecare nod numarul componenetei din care face parte acesta si care se schimba o data ce adaugam o noua muchie.Modificarea acestuia se face in functie de apartenenta uneia dintre extremitati la un arbore cu mai mult de un nod.In multimea B se retin numerele de ordine ale muchiilor ce apartin arborelui de cost minim.


procedure sortare; {se face sortarea intr-un vector v a muchiilor in ordine
var i,k,min:integer; crescatoare a costurilor muchiilor}
c:vector;
begin
c:=a;k:=0;
repeat
min:=maxint;
for i:=1 to m do
if (c[i].cost0) then
begin
min:=c[i].cost;
j:=i;
end;
inc(k);
v[k]:=j;
c[j].cost:=0;
until k=m;
end;
procedure kruskal;
var i,k,j:integer;
begin
k:=0;
for i:=1 to m do
begin
if (x[a[v[i]].vf1]=0) and (x[a[v[i]].vf2]=0) then {ambele extremitati
begin formeaza un arbore cu un singur nod}
b:=b+[v[i]];
inc(k);
x[a[v[i]].vf1]:=k;
x[a[v[i]].vf2]:=k;
end
else
if x[a[v[i]].vf1]<>x[a[v[i]].vf2] then {se verifica daca extremitatile
begin muchiei sunt din arbori diferiti}
b:=b+[v[i]];
if (x[a[v[i]].vf1]<>0) and (x[a[v[i]].vf2]<>0) then
begin
for j:=1 to n do
if (x[j]=x[a[v[i]].vf1]) and (a[v[i]].vf1<>j) then
x[j]:=x[a[v[i]].vf2];
x[a[v[i]].vf1]:=x[a[v[i]].vf2];
end;
if (x[a[v[i]].vf1]=0) then
x[a[v[i]].vf1]:=x[a[v[i]].vf2];
if (x[a[v[i]].vf2]=0) then
x[a[v[i]].vf2]:=x[a[v[i]].vf1];
end;
suma:=suma+a[v[i]].cost;
end;
end;
begin {main}
clrscr;
citire;
for i:=1 to m do
v[i]:=0;
sortare;
writeln('Vectorul sortat in ordinea muchiilor este:');
for i:=1 to m do
write(v[i],' ');
writeln;
for i:=1 to n do
x[i]:=0;
b:=[];
kruskal;
writeln('Muchiile arborelui sunt:');
suma:=0;
for i:=1 to m do
if i in b then
begin
writeln('Muchia ',i,':',a[i].vf1,' ',a[i].vf2,' de cost ',a[i].cost);
suma:=suma+a[i].cost;
end;
write('Costul arborelui este:',suma);
readkey;
end.